Question

6．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{9}x，x＞0}\end{array}\right.$，則f（f（$\frac{1}{27}$））=$\frac{1}{8}$；當f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$時x₀的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1]∪[729，+∞）．

Answer 1

分析 f（$\frac{1}{27}$）=$lo{g}_{9}\frac{1}{27}$=-$\frac{3}{2}$，即可求出f（f（$\frac{1}{27}$））=${4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$；利用f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$，結合分段函數，即可求出當f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$時x₀的取值范圍．

解答 解：f（$\frac{1}{27}$）=$lo{g}_{9}\frac{1}{27}$=-$\frac{3}{2}$，∴f（f（$\frac{1}{27}$））=${4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$，
${4}^{x}≥\frac{1}{2}$，0≥x≥-$\frac{1}{2}$，∴0≥$lo{g}_{9}{x}_{0}≥-\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{3}≤{x}_{0}≤1$；
x＞0時，$lo{g}_{9}x≥\frac{1}{2}$，∴x≥3，log₉x₀≥3，∴x₀≥729，
綜上所述，f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$時x₀的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1]∪[729，+∞）．
故答案為$\frac{1}{8}$，[$\frac{1}{3}$，1]∪[729，+∞）．

點評 本題考查分段函數，考查學生的計算能力，正確理解分段函數是關鍵．