Question

18．已知圓O：x²+y²=2，直線l：y=kx-2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)$∠AOB=\frac{π}{2}$時(shí)，求k的值；
（2）若$k=\frac{1}{2}，P$是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)則求出該定點(diǎn)，若不存在則說(shuō)明理由；
（3）若EF、GH為圓O：x²+y²=2的兩條相互垂直的弦，垂足為$M（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)$∠AOB=\frac{π}{2}$時(shí)，點(diǎn)O到l的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，由此求k的值；
（2）求出直線CD的方程，即可，探究：直線CD是否過(guò)定點(diǎn)；
（3）求出四邊形EGFH的面積，利用配方法，求出最大值．

解答 解：（1）∵$∠AOB=\frac{π}{2}$，∴點(diǎn)O到l的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，∴$\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\sqrt{2}⇒k±\sqrt{3}$．
（2）由題意可知：O，P，C，D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)$P（{t，\frac{1}{2}t-2}）$．
其方程為：$x（{x-t}）+y（{y-\frac{1}{2}t+2}）=0$，
即${x^2}-tx+{y^2}-（{\frac{1}{2}t-2}）y=0$，
又C、D在圓O：x²+y²=2上，
∴${l_{CD}}：tx+（{\frac{1}{2}t-2}）y-2=0$，即$（{x+\frac{y}{2}}）t-2y-2=0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}}\right.$
∴直線CD過(guò)定點(diǎn)$（{\frac{1}{2}，-1}）$．
（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂．
則$d_1^2+d_2^2={|{OM}|^2}=\frac{3}{2}$，
∴$|{EF}|=2\sqrt{{r^2}-d_1^2}=2\sqrt{12-d_1^2}\;\;|{GH}|=2\sqrt{{r^2}-d_2^2}=2\sqrt{2-d_2^2}$$S=\frac{1}{2}|{EF}||{GH}|=2\sqrt{（{2-d_1^2}）（{2-d_2^2}）}=\sqrt{-4d_2^4+6d_2^2+4}=\sqrt{-4{{（{d_2^2-\frac{3}{4}}）}^2}+\frac{25}{4}}≤\frac{5}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$d_2^2=\frac{3}{4}$，即${d_1}={d_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí)，取“=”
∴四邊形EGFH的面積的最大值為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．