Question

（2011•天津模擬）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=3，an+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（1）證明數(shù)列{

an-1

an-2

}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n（a_n+1-2），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜2；
（3）設(shè)c_n=n²（a_n-2），求c_nc_n+1的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

an+1-1

an+1-2

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

=

2(an-1)

an-2

，

a1-1

a1-2

=2≠0，由此能夠證明數(shù)列{

an-1

an-2

}為等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）bn=an(an+1-2)=

2n+1-1

2n-1

(

2n+2-1

2n+1-1

-2)=

1

2n-1

，所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

，由此能證明S_n＜2．
（3）cn=n2(an-2)=

n2

2n-1

⇒cncn+1=

n2(n+1)2

(2n-1)(2n+1-1)

，令

cn+1cn+2

cncn+1

=

cn+2

cn

=

(n+2)2

2n+2-1

×

2n-1

n2

＞1，所以[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，解得n=1，由此能夠求出c_nc_n+1的最大值．

解答：（1）證明：∵

an+1-1

an+1-2

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

=

2(an-1)

an-2

，（2分）
又

a1-1

a1-2

=2≠0，
∴{

an-1

an-2

}等比數(shù)列，且公比為2，（3分）
∴

an-1

an-2

=2n，
解得an=

2n+1-1

2n-1

．（4分）
（2）證明：bn=an(an+1-2)=

2n+1-1

2n-1

(

2n+2-1

2n+1-1

-2)=

1

2n-1

，（5分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

（6分）
Sn=b1+b2+b3+…+bn＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＜2．（8分）
（3）解：cn=n2(an-2)=

n2

2n-1

⇒cncn+1=

n2(n+1)2

(2n-1)(2n+1-1)

（9分）
令

cn+1cn+2

cncn+1

=

cn+2

cn

=

(n+2)2

2n+2-1

×

2n-1

n2

＞1，（10分）
∴[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，（11分）
∴（3n+2）（2-n）2ⁿ＞4n+4，
解n=1．

cn+1cn+2

cncn+1

=

cn+2

cn

=

(n+2)2

2n+2-1

×

2n-1

n2

＜1⇒n≥2．（12分）
所以：c₁c₂＜c₂c₃＞c₃c₄＞…
故(cncn+1)max=c2c3=

12

7

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，計(jì)算量大，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．