已知橢圓具有如下性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，則kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試寫(xiě)出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）具有的類似的性質(zhì)，并加以證明．
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），且
m2
a2
-
n2
b2
=1，又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求得兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無(wú)關(guān)．
解答： 解：雙曲線的類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．
下面給出證明：
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），且
m2
a2
-
n2
b2
=1．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由kPM=
y-n
x-m
，kPN=
y+n
x+m
得kPM•kPN=
y-n
x-m
•
y+n
x+m
=
y2-n2
x2-m2
，①
將y2=
b2
a2
x2-b2，n2=
b2
a2
m2-b2代入①式，得kPM•kPN=
b2
a2
（定值）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，正確計(jì)算是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若m⊥α，n⊥α，則m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

雙曲線
x2
4
-y2=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（　�。�
A、2
B、
2
C、1
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=ln（x+1）與y=
1
x
的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間為（　　）
A、（0，1）
B、（1，2）
C、（2，3）
D、（3，4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（　�。�
①一條直線與一個(gè)點(diǎn)就能確定一個(gè)平面   
②若直線a∥b，b?平面α，則a∥α
③若函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)存在x=x0滿足f'（x0）=0，則x=x0必定是y=f（x）的極值點(diǎn)
④函數(shù)的極大值就是最大值．
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是BD，BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CF．
（2）當(dāng)點(diǎn)E是棱DD1上的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線EF與CG所成角的余弦值．
（3）當(dāng)二面角E-CF-D達(dá)到最大時(shí)，求其余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角E-AM-D的余弦值為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0且t≠1，x=
t
是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=anlogtan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，點(diǎn)E是棱DD1的中點(diǎn)，過(guò)A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角，又過(guò)A1、C1、E三點(diǎn)的平面再截去長(zhǎng)方體的另一個(gè)角得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1E
（1）若直線BC1與平面A1C1CA所成角的正弦值為
10
10
，求棱AA1的長(zhǎng)．
（2）在（1）的前提下，求二面角E-A1C1-B的余弦值．

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