Question

12．已知四面體ABCD中，AB=CD=2，E、F分別為BC、AD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為$\frac{π}{3}$，則EF=1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取BD中點O，連結EO、FO，推導出EO=FO=1，$∠EOF=\frac{π}{3}$，或$∠EOF=\frac{2π}{3}$，由此能求出EF．

解答 解取BD中點O，連結EO、FO，
∵四面體ABCD中，AB=CD=2，E、F分別為BC、AD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為$\frac{π}{3}$，
∴EO∥CD，且EO=$\frac{1}{2}CD=1$，F(xiàn)O∥AB，且FO=$\frac{1}{2}AB$=1，
∴∠EOF是異面直線AB與CD所成的角，
∴$∠EOF=\frac{π}{3}$，或$∠EOF=\frac{2π}{3}$，
當∠EOF=$\frac{π}{3}$時，△EOF是等邊三角形，∴EF=1．
當$∠EOF=\frac{2π}{3}$時，EF=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-\frac{1}{2}×1×1×cos\frac{2π}{3}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：1或$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線段長的示法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．