Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：

分析：（Ⅰ）通過(guò)A=0，f（x）≥h（x），化簡(jiǎn)為m≤

x

lnx

，構(gòu)造φ（x）=

x

lnx

，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價(jià)于m≤φ（x）_min．通過(guò)新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解新函數(shù)的最值即可．
（Ⅱ）存在m=

1

2

，使得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性．
求出f′（x）_min，請(qǐng)查收的定義域，通過(guò)m≤0，m＞0，分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，然后判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）由A=0，f（x）≥h（x）可得m≤

x

lnx

，
記φ（x）=

x

lnx

，則f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價(jià)于m≤φ（x）_min．
求得φ′（x）=

lnx-1

ln2x

 
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)；φ′（x）＜0；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)；φ′（x）＞0．
故φ（x）在x=e處取得極小值，也是最小值，
即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．---------（7分）
（Ⅱ）存在m=

1

2

，使得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性
f′（x）_min=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
若m≤0，則f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；
若m＞0，由f′（x）＞0可得2x²-m＞0，解得x＞

m 2

或x＜-

m 2

（舍去）
故m＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

m 2

，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

m 2

）
而h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

2

），單調(diào)遞增區(qū)間是（

1

2

，+∞）
故只需

m 2

=

1

2

，解之得m=

1

2

即當(dāng)m=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性．┉（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．