Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4

3

x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C過點(diǎn)(

3

，-

1

2

)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點(diǎn)(

6

5

，0)作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（直線l與x軸不重合），A為橢圓C的右頂點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否恒過點(diǎn)A，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線的方程、橢圓的方程及其性質(zhì)即可得出；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積即可判斷AM⊥AN是否成立．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線y2=4

3

x的方程可得焦點(diǎn)為(

3

，0)，即為橢圓C的右焦點(diǎn)．
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），又點(diǎn)(

3

，-

1

2

)在橢圓C上．
∴

c= 3 ( 3 )2 a2 + (- 1 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b=1 c= 3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵直線l與x軸不重合，∴可設(shè)直線l的方程為my=x-

6

5

，
聯(lián)立

my=x- 6 5 x2 4 +y2=1

，消去x得到關(guān)于y的方程（25m²+100）y²+60my-64=0，
∵點(diǎn)(

6

5

，0)在橢圓內(nèi)部，∴△＞0．
∴y₁+y₂=-

60m

25m2+100

，y1y2=-

64

25m2+100

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=(my1+

6

5

-2，y1)•(my2+

6

5

-2，y2)
=（m²+1）y₁y₂-

4

5

m(y1+y2)+

16

25

=-

64(m2+1)

25m2+100

+

48m2

25m2+100

+

16

25

=-

16

25

+

16

25

=0．
∴

AM

⊥

AN

，即∠MAN=90°．
∴以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)A．

點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)、直線與圓錐曲線的相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積與垂直的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．