Question

1．已知動圓P過定點(diǎn)A（-2$\sqrt{2}$，0），且內(nèi)切于定圓B：（x-2$\sqrt{2}$）²+y²=36．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡C方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，記軌跡C被y=x+m所截得的弦長為f（m），求f（m）的解析式及其最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ依題意，不難得到||PA|+|PB|=6，轉(zhuǎn)化為橢圓定義，求出動圓圓心P的軌跡的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程組消去y，整理得10x²+18mx+9m²-9=0，利用韋達(dá)定理及弦長公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓P半徑為r，B（2$\sqrt{2}$，0），
則|PB|=6-r，且|PA|=r，則|PA|+|PB|=6，可知P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離的和為常數(shù)6，并且常數(shù)大于|AB|，所以點(diǎn)P的軌跡為以A、B焦點(diǎn)的橢圓，可以求得a=3，c=2$\sqrt{2}$，b=1，
所以動圓圓心P的軌跡的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1；…（6分）
（Ⅱ） 聯(lián)立方程組消去y，整理得10x²+18mx+9m²-9=0…（5分）
設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則△＞0，解得-$\sqrt{10}$＜m＜$\sqrt{10}$  …（6分）
且x₁+x₂=-$\frac{9m}{5}$，x₁x₂=$\frac{9（{m}^{2}-1）}{10}$…（7分）
故f（m）=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}\sqrt{10-{m}^{2}}$…（10分）
當(dāng)m=0時(shí)，弦長取得最大值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，達(dá)定理及弦長公式的運(yùn)用，是中檔題．