如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其中e=
1
2
，焦距為2，過點M（4，0）的直線l與橢圓C交于點A、B，點B在AM之間．又點A，B的中點橫坐標為
4
7
，且
AM
=λ
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程； 
（Ⅱ）求實數(shù)λ的值．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（I）運用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（II）運用向量共線的知識，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用判別式大于0，以及韋達定理和中點坐標公式，計算得到A，B的橫坐標，即可得到所求值．
解答： 解：（I）由條件可知，c=1，a=2，
故b2=a2-c2=3，
橢圓的標準方程是
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）由
AM
=λ
MB
，可知A，B，M三點共線，
設(shè)點A（x1，y1），點B（x2，y2）．
若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意．
當AB所在直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）．
由
y=k(x-4)
x2
4
+
y2
3
=1
消去y得，（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0．①
由①的判別式△=322k4-4（4k2+3）（64k2-12）=144（1-4k2）＞0，
解得k2＜
1
4
，
x1+x2=
32k2
4k2+3
x1x2=
64k2-12
4k2+3
，
由
x1+x2
2
=
16k2
4k2+3
=
4
7
，可得k2=
1
8
，即有k=
2
4
．
將k2=
1
8
代入方程①，得7x2-8x-8=0，
則x1=
4-6
2
7
，x2=
4+6
2
7
．
又因為
AM
=(4-x1，-y1)，
MB
=(x2-4，y2)，
AM
=λ
MB
，
所以λ=
4-x1
x2-4
，
所以λ=
-9-4
2
7
．
點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}、{bn}滿足
an
bn
=
3n+2
4n+3
（n∈N*），且前n項和分別為An、Bn，則
A5
B5
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+3}，且A∩B={（2，5）}，則（　�。�
A、a=3B、a=2
C、a=-3D、a=-2

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已知等差數(shù)列{an}滿足a2≤2，a3≤4，a1+a4≥4，當a4取得最大值時，數(shù)列{an}的公差為
 
．

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已知扇形周長為10，面積是4，則扇形的圓心角是
 
．弧長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知 a、b為平面向量，若a+b與a的夾角為
π
3
，a+b與b的夾角為
π
4
，則
|a|
|b|
=（　　）
A、
3
3
B、
5
3
C、
6
3
D、
6
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當0＜-
1
a
＜e時，若f（x）在區(qū)間（0，e）上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）當a=-1時，試推斷方程|f（x）|=
lnx
x
+
1
2
是否有實數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2，1）和
b
=（x-1，y）垂直，則|
a
+
b
|的最小值為（　�。�
A、
5
B、5
C、2
5
D、
15

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

lim
x→0
xln(1+x)
1-cosx)
=
 
．

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