Question

16．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{a+1}{2}{x}^{2}$+1．
（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）確定f（x）的定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最值只可能在f（1），f（$\frac{1}{e}$），f（e）取到，即可求得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{1}{4}$x²+1，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$，
∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴由f'（x）=0得x=1，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最值只可能在f（1），f（$\frac{1}{e}$），f（e）取到，
而f（1）=$\frac{5}{4}$，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{4e}^{2}}$，f（e）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$，f（x）_min=f（1）=$\frac{5}{4}$．
（2）f′（x）=$\frac{（a+1{）x}^{2}+a}{x}$，x∈（0，+∞）．
①當(dāng)a+1≤0，即a≤-1時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
②當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得x²＞$\frac{-a}{a+1}$，
∴x＞$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$或x＜-$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$（舍去）
∴f（x）在（$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$，+∞）單調(diào)遞增，在（0，$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$）上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$，+∞）單調(diào)遞增，在（0，$\sqrt{\frac{-a}{a+1}}$）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類(lèi)是關(guān)鍵．