5.2011年,國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布,將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié),來(lái)源是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率,為慶祝該節(jié)日,某校舉辦的數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng)中,設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲:參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān),若闖關(guān)成功,分別獲得5個(gè)學(xué)豆、10個(gè)學(xué)豆、20個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì),游戲還規(guī)定,當(dāng)選手闖過(guò)一關(guān)后,可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆,結(jié)束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān),若有任何一關(guān)沒(méi)有闖關(guān)成功,則全部學(xué)豆歸零,游戲結(jié)束.設(shè)選手甲第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為$\frac{3}{4}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{2}$,選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$,且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響
(I)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率
(Ⅱ)設(shè)該學(xué)生所得學(xué)豆總數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

分析 (Ⅰ)設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A,“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1,“前兩關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2,A1,A2互斥,P(A)=P(A1)+P(A2),由此能求出第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率.
(Ⅱ)由題意X的可能取值為0,5,15,35,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和EX.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A,
“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1,
“前兩關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2,
則A1,A2互斥,
P(A1)=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{8}$,
P(A2)=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2})$=$\frac{1}{16}$,
P(A)=P(A1)+P(A2)=$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$=$\frac{3}{16}$,
∴第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率為$\frac{3}{16}$.
(Ⅱ)由題意X的可能取值為0,5,15,35,
P(X=0)=(1-$\frac{3}{4}$)+P(A)=$\frac{7}{16}$,
P(X=5)=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$,
P(X=15)=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$,
P(X=35)=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$,
∴X的分布列為:

 X 0 5 15 35
 P $\frac{7}{16}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{16}$
EX=$0×\frac{7}{16}+5×\frac{3}{8}+15×\frac{1}{8}+35×\frac{1}{16}$=$\frac{95}{16}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意互斥事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.

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(Ⅱ)從招聘職工(人數(shù)很多)中任意選取3人,記X為這3名職工中參加這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù).試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X).

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