Question

已知直線y=3x+1是曲線y=x³-2x+a的一條切線，求a的值．

Answer 1

分析：若y=3x+1是曲線y=x³-2x+a的一條切線，則在切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值等于切線的斜率，故我們可以據(jù)此利用導(dǎo)函數(shù)，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入切入方程，確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程最終確定參數(shù)的值．

解答：解：∵y=x³-2x+a
∴y′=3x²-2．
令3x²-2=3，
x=±

15

3

．
代入切線方程知y₀=1±

15

，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（

15

3

，1+

15

），或（-

15

3

，1-

15

），
代入曲線方程y=x³-2x+a得
∴a=y₀+2x₀-x₀³=

15

．

點(diǎn)評(píng)：（1）解決此類問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”的問(wèn)法．（2）解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0，y0），然后求其切線斜率k=f′（x0），寫出其切線方程．而“在某點(diǎn)處的切線”就是指“某點(diǎn)”為切點(diǎn)．（3）曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確．