Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點F₁，F₂在y軸上，它的一個頂點為A(，0)，且中心O到直線AF₁的距離為焦距的，過點M(2,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點P，Q，點N在線段PQ上．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求動點N的軌跡方程．

Answer 1

　(1)設橢圓的標準方程是＋＝1(a>b>0)．

由于橢圓的一個頂點是A(，0)，故b²＝2.

根據題意得，∠AF₁O＝，sin∠AF₁O＝，

即a＝2b，a²＝8，

所以橢圓的標準方程是＋＝1.

(2)設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(x，y)，

由題意知直線l的斜率存在，

設直線l的方程為y＝k(x－2)．

直線l的方程與橢圓方程聯立消去y得：

(k²＋4)x²－4k²x＋4k²－8＝0.

由Δ＝16k²－4(k²＋4)(4k²－8)>0，得－2<k<2.

根據根與系數的關系得x₁＋x₂＝

又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，

即(2－x₁)(x₂－x)＝(x－x₁)(2－x₂)．

解得x＝1，代入直線l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)．

所以動點N的軌跡方程為x＝1，y∈(－2,2)．