Question

14．設f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，求${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4-π}$．

Answer 1

分析 對等式兩邊取積分，分別根據(jù)定積分的幾何意義和積分公式，即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1{+x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∵${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原點為圓心以1為半徑的圓的面積的四分之一，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∵${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{1{+x}^{2}}$dx=arctanx|${\;}_{0}^{1}$=arctan1-arctan0=$\frac{π}{4}$-0=$\frac{π}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4-π}$．
故答案為：$\frac{π}{4-π}$

點評 本題考查了定積分的計算；解答本題的關(guān)鍵是兩邊求定積分，屬于中檔題．