Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2an

an+2

（n∈N），
（1）寫出a₂、a₃、a₄、a₅值；
（2）由前5項(xiàng)猜想數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接有數(shù)列的遞推公式進(jìn)行遞推即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)遞推關(guān)系，猜想并進(jìn)行證明即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

2an

an+2

（n∈N），
∴a2=

2

3

，a3=

1

2

，a4=

2

5

，a5=

1

3

．
（2）猜想an=

2

n+1

，
由an+1=

2an

an+2

(n∈N)得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，
首項(xiàng)

1

a1

=1，公差d=

1

2

，
∴

1

an

=

2

n+1

，an=

n+1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的證明，考查學(xué)生的推理能力．