Question

7．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點P的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{3}$）．
（Ⅰ）求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程為y=$\sqrt{3}x$，由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程；曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，得曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-4\sqrt{3}ρsinθ+9=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，得到ρ²-7ρ+9=0，由韋達定理、弦長公式求出|AB|，△PAB的面積S_△PAB=|S_△POB-S_△POA|，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程為y=$\sqrt{3}x$，
∴$ρsinθ=\sqrt{3}ρcosθ$，∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為：（x-1）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=4，
則（ρcosθ-1）²+（$ρsinθ-2\sqrt{3}$）²=4，
則曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}-2ρcosθ-4\sqrt{3}ρsinθ+9=0$．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-4\sqrt{3}ρsinθ+9=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
得到ρ²-7ρ+9=0，設(shè)其兩根為ρ₁，ρ₂，
則ρ₁+ρ₂=7，ρ₁ρ₂=9，
∴|AB|=|ρ₂-ρ₁|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵點P的極坐標(biāo)為（$2\sqrt{3}，\frac{2π}{3}$），∴|OP|=2$\sqrt{3}$，$∠POB=\frac{π}{3}$，
∴△PAB的面積：S_△PAB=|S_△POB-S_△POA|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×|AB|$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題考查直線與曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．