Question

設(shè)A，B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)λ=3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（0，1）且傾斜角為

π

3

的直線與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)，求|EF|的長(zhǎng)；
（Ⅱ）確定λ的取值范圍，并求直線CD的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）當(dāng)λ=3時(shí)，求出EF的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可求|EF|的長(zhǎng)；
（Ⅱ）可設(shè)直線AB的方程為 y=k（x-1）+3，代入 橢圓3x²+y²=λ，可得x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

，再由線段的中點(diǎn)公式求出k=-1，于是求得直線CD的方程．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)λ=3時(shí)，橢圓3x²+y²=3，即x2+

y2

3

=1，
直線EF的方程為：y=

3

x+1，…（2分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則
y=

3

x+1代入橢圓方程可得3x²+

3

x-1=0
∴x₁+x₂=-

3

3

，x₁x₂=-

1

3

，
∴|EF|=

1+3

|x₁-x₂|=

2 15

3

；
（Ⅱ）依題意，顯然直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程y=k（x-1）+3，
代入橢圓3x²+y²=λ，整理得（k²+3 ）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0     ①
設(shè)A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），則 x₁，x₂ 是方程①的兩個(gè)不同的根，
∴△=4k²（k-3）²-4（k²+3 ）[（k-3）²-λ]＞0②，且x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

．
由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得x₁+x₂=2，∴k（k-3）=k²+3，∴k=-1．
代入②得λ＞12，即λ 的取值范圍是（12，+∞），于是直線CD的方程為x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點(diǎn)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．