Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=

1

8

時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得方程

3f(x)

4x

+m+g(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可得極值點(diǎn)；
（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax²-x（x＞0），所以ax≥lnx+1，即a≥

lnx+1

x

對(duì)任意x＞0恒成立，求出右邊的最大值，即可求使f（x）≤g（x）恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得方程

3f(x)

4x

+m+g(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根，即方程6lnx+8m+x²-8x=0有三個(gè)不等實(shí)根，令φ（x）=6lnx+8m+x²-8x，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0得x＞

1

e

，f′（x）＜0得0＜x＜

1

e

，
∴f（x）在（0，

1

e

）單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）的極小值點(diǎn)為x=

1

e

．（注：極值點(diǎn)未正確指出扣1分）                   （3分）
（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax²-x（x＞0），∴ax≥lnx+1，
即a≥

lnx+1

x

對(duì)任意x＞0恒成立，
令h（x）=

lnx+1

x

，則h′（x）=

-lnx

x2

，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（1）=1，∴a≥1，
∴當(dāng)a≥1時(shí)f（x）≤g（x）恒成立．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得方程

3f(x)

4x

+m+g(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根，
即方程6lnx+8m+x²-8x=0有三個(gè)不等實(shí)根，
令φ（x）=6lnx+8m+x²-8x，
φ′(x)=

6

x

+2x-8=

2(x2-4x+3)

x

=

2(x-3)(x-1)

x

，
由φ′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3，由φ′（x）＜0得1＜x＜3，
∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）的極大值為φ（1）=-7+8m，φ（x）的極小值為φ（3）=-15+6ln3+8m．（11分）
要使方程6lnx+8m+x²-8x=0有三個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)φ（x）的圖象與x軸要有三個(gè)交點(diǎn)，
根據(jù)φ（x）的圖象可知必須滿(mǎn)足

-7+8m＞0 -15+6ln3+8m＜0

，解得

7

8

＜m＜

15

8

-

3

4

ln3，（13分）
∴存在實(shí)數(shù)m，使得方程

3f(x)

4x

+m+g(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是

7

8

＜m＜

15

8

-

3

4

ln3．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題．