Question

20．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=2$\sqrt{3}$，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理可得sinC=2sinCcosC，可得cosC=$\frac{1}{2}$，從而解得C的值．
（Ⅱ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得a+b+c=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），利用A的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求sin（A+$\frac{π}{6}$）的范圍，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，…（2分）
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴sinC=2sinCcosC，…（4分）
∴cosC=$\frac{1}{2}$，故C=$\frac{π}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$，
于是，a+b+c=2$\sqrt{3}$+4（sinA+sinB）=2$\sqrt{3}$+4[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），…（8分）
∵銳角△ABC中，C=$\frac{π}{3}$，
∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，可得：a+b+c∈（6+2$\sqrt{3}$，6$\sqrt{3}$]，…（11分）
∴△ABC周長的取值范圍為：（6+2$\sqrt{3}$，6$\sqrt{3}$]，…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．