Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）lnx-x（a＜0），且函數(shù)f（x）在x=2處取得極值．
（I）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）若?x∈[1，e]，f（x）-m≤0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出a的值，從而求出f（x）的表達式，求出切線方程即可；
（Ⅱ）問題轉化為：求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值，根據(jù)函數(shù)的單調性求出f（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（I）由f′（x）=x-$\frac{a（a-1）}{x}$-1，f′（2）=0，得a=-1或a=2（舍去）
經(jīng)檢驗，當a=-1時，函數(shù)f（x）在x=2處取得極值．
a=-1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx-x，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1，
則f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=-2，
所以所求的切線方式為y+$\frac{1}{2}$=-2（x-1），
整理得4x+2y-3=0；
（II）問題轉化為：求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f'（x）		-	0	+
f（x）	$-\frac{1}{2}$	↘	最小值	↗	$\frac{e^2}{2}-2-e$

比較$\frac{e^2}{2}-2-e-（-\frac{1}{2}）=\frac{{{e^2}-2e-3}}{2}=\frac{（e-3）（e+1）}{2}＜0$，
所以$f{（x）_{max}}=-\frac{1}{2}$，即$m≥-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及切線方程問題，是一道中檔題．