【題目】已知函數(shù)(
).
(1)若在點
處的切線與直線
垂直,求實數(shù)
的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)討論函數(shù)在區(qū)間
上零點的個數(shù).
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【解析】試題分析:由
,直線
的斜率為
,
所以得出a值,(2)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
大于零或小于零解不等式即可注意當(dāng)當(dāng)
,
時(3)由(2)可知,
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增,而
,故
在
上沒有零點;
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增,而
,故
在
上有一個零點;只需討論當(dāng)
時結(jié)合草圖根據(jù)零點所在的區(qū)間逐一討論即可
試題解析:
(1)由題可知的定義域為
,
因為,所以
又因為直線的斜率為
,
,解得
(2)由(1)知:
,
當(dāng)時,
,所以
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,由
得
,由
得
,所以
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
綜上所述:當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
(3)由(2)可知,
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增,而
,故
在
上沒有零點;
當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞增,而
,故
在
上有一個零點;
當(dāng)時,
①若,即
時,
在
上單調(diào)遞減,
,
在
上沒有零點;
②若,即
時,
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,而
,
,
,
若
,即
時,
在
上沒有零點;
若
,即
時,
在
上有一個零點;
若
,即
時,由
得
,此時,
在
上有一個零點;
由得
,此時,
在
上有兩個零點;
③若,即
時,
在
上單調(diào)遞增,
,
,
在
上有一個零點.
綜上所述:當(dāng)或
時,
在
上有一個零點;當(dāng)
或
時,
在
上沒有零點;當(dāng)
時,
在
上有兩個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,地面上有一豎直放置的圓形標志物,圓心為C,與地面的接觸點為G.與圓形標志物在同一平面內(nèi)的地面上點P處有一個觀測點,且PG=50m.在觀測點正前方10m處(即PD=10m)有一個高為10m(即ED=10m)的廣告牌遮住了視線,因此在觀測點所能看到的圓形標志的最大部分即為圖中從A到F的圓�。�
(1)若圓形標志物半徑為25m,以PG所在直線為x軸,G為坐標原點,建立直角坐標系,求圓C和直線PF的方程;
(2)若在點P處觀測該圓形標志的最大視角(即∠APF)的正切值為 ,求該圓形標志物的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程.
在平面直角坐標系中,傾斜角為
的直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標原點為極點,以
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程是
.
(1)寫出直線的普通方程和曲線
的直角坐標方程;
(2)已知點.若點
的極坐標為
,直線
經(jīng)過點
且與曲線
相交于
兩點,設(shè)線段
的中點為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,
,且
,f(x)=
﹣2λ|
|(λ為常數(shù)),求:
(1)
及|
|;
(2)若f(x)的最小值是 ,求實數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標如圖所示,它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中較小的銳角為θ,大正方形的面積是1,小正方形的面積是 ,則sin2θ﹣cos2θ的值等于( )
A.1
B.﹣
C.
D.﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實數(shù)和
,使得函數(shù)
和
對定義域內(nèi)的任意
均滿足:
,且存在
使得
,存在
使得
,則稱直線
為函數(shù)
和
的“分界線”.在下列說法中正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①任意兩個一次函數(shù)最多存在一條“分界線”;
②“分界線”存在的兩個函數(shù)的圖象最多只有兩個交點;
③與
的“分界線”是
;
④與
的“分界線”是
或
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)場計劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗.選取兩大塊地,每大塊地分成小塊地,在總共
小塊地中,隨機選
小塊地種植品種甲,另外
小塊地種植品種乙.
(1)假設(shè),求第一大塊地都種植品種甲的概率;
(2)試驗時每大塊地分成小塊,即
,試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位:kg/hm2)如下表:
甲 | ||||||||
乙 |
分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差;根據(jù)試驗結(jié)果,你認為應(yīng)該種植哪一品種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中
為第
題的難度,
為答對該題的人數(shù),
為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進行一次測試,共5道客觀題,測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,結(jié)果如表:
(Ⅰ)根據(jù)題中數(shù)據(jù),估計中240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù);
(Ⅱ)從抽樣的20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生,記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)試題的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差.設(shè)為第
題的實測難度,請用
和
設(shè)計一個統(tǒng)計量,并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預(yù)估是否合理.
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