Question

17．已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-2（a+1）x+（a²-5）=0}，A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 由x²-3x+2=0解得x=1，2．可得 A={1，2}．由A∪B=A，可得B⊆A．分類討論：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，則△=0，解得即可．若B={1，2}，可得$\left\{\begin{array}{l}{1+2=2（a+1）}\\{1×2={a}^{2}-5}\end{array}\right.$，此方程組無解．

解答 解：由x²-3x+2=0解得x=1，2．
∴A={1，2}．
∵A∪B=A，∴B⊆A．
1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜-3．
2°若B={1}或{2}，則△=0，解得a=-3，此時B={-2}，不符合題意．
3°若B={1，2}，∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=2（a+1）}\\{1×2={a}^{2}-5}\end{array}\right.$，此方程組無解．
綜上：a＜-3．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-3）．

點評 本題考查了集合之間的關系、一元二次方程的解與判別式△的關系，屬于中檔題．