Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求公比q的值；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，比較S_n與b_n的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}是公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數(shù)列，
所以2a₂₀₁₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，即2a2011q2=a2011+a2011q，
∵a₂₀₁₁≠0，∴2q²-q-1=0．
∴q=1或q=-

1

2

，
又q≠1，∴q=-

1

2

；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，
公差q=-

1

2

，則Sn=2n+

n(n-1)

2

•(-

1

2

)=

-n2+9n

4

．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-bn=Sn-1=

-(n-1)2+9(n-1)

4

=

-n2+11n-10

4

=-

(n-1)(n-10)

4

，
故對(duì)于n∈N^*，當(dāng)2≤n≤9時(shí)，S_n＞b_n；
當(dāng)n=10時(shí)，S_n=b_n；
當(dāng)n≥11時(shí)，S_n＜b_n．