Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）曲線的普通方程為，以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線:依次與曲線和曲線交于、兩點，射線:依次與曲線和曲線交于、兩點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）將兩曲線的方程均化為普通方程，然后由可將兩曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）作出圖形，設(shè)點、的極坐標(biāo)分別為、，將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程可得出、的表達(dá)式，可得出，利用基本不等式可求出的最大值.

（1）由曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），

所以曲線的普通方程為，

由則曲線的極坐標(biāo)方程為.

又曲線的普通方程為，

由，得曲線的極坐標(biāo)方程為；

（2）如圖，由題意知，

點、的極坐標(biāo)分別為、，

將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得，

，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，不等式取等號，

因此，的最大值為.