Question

如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長軸長為4，不過原點(diǎn)O的斜率為﹣的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P（2，1）且直線OP平分線段AB．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求△OAB面積取最大值時直線l的方程．

 

 

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）y=﹣

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知設(shè)直線l的方程為y=﹣，由題意2a=4，解得a=2，

聯(lián)立，得（b2+9）x2﹣12nx+4n2﹣4b2=0，

直線OP：x=2y，直線OP平分線段AB，解得b2=3．由此能求出橢圓C的方程．

（Ⅱ）原點(diǎn)O到直線y=﹣的距離d=，

|AB|=•=•，

△OAB面積S==|n|•=•，

由此能求出△OAB面積取最大值時直線l的方程

試題解析：（Ⅰ）由已知設(shè)直線l的方程為y=﹣，

由題意2a=4，解得a=2，

聯(lián)立，得（b2+9）x2﹣12nx+4n2﹣4b2=0，

△＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，

y1+y2=﹣（x1+x2）+2n=﹣，

∵點(diǎn)P（2，1），∴直線OP：x=2y，

∵且直線OP平分線段AB，∴，

即=﹣，解得b2=3．

∴橢圓C的方程為．

（Ⅱ）原點(diǎn)O到直線y=﹣的距離d=，

=n，=，

|AB|=•

=•，

∴△OAB面積S==|n|•

=•，

∴當(dāng)n=時，△OAB面積S取最大值．

∴△OAB面積取最大值時直線l的方程為y=﹣

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．