若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈Z）．
（1）求a5+b5的值；
（2）求證：數(shù)列{bn}各項(xiàng)均為奇數(shù)．
（1）當(dāng)n=5時，(1+
2
)5=
C05
+
C15
2
+
C25
(
2
)2+…+
C55
 (
2
)5
=[
C05
+
C25
(
2
)2+
C45
(
2
)4]+[
C15
2
+
C25
(
2
)3+
C55
(
2
)5]
=41+29
2

故a5=29，b5=41所以a5+b5=70
（2）證明：由數(shù)學(xué)歸納法
（i）當(dāng)n=1時，易知b1=1，為奇數(shù)；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時，(1+
2
)k=
2
ak+bk，其中bk為奇數(shù)；
則當(dāng)n=k+1時，(1+
2
)k+1=(1+
2
)k(1+
2
) =(
2
ak+bk)(1+
2
)
=
2
(ak+bk)+(bk+2ak)
∴bk+1=bk+2ak，又ak、bk∈Z，所以2ak是偶數(shù)，
由歸納假設(shè)知bk是奇數(shù)，故bk+1也是奇數(shù)
綜（i）（ii）可知數(shù)列{bn}各項(xiàng)均為奇數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“P數(shù)對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“類P數(shù)對”．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數(shù)對”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且當(dāng)x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）證明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當(dāng)n為偶數(shù)時，[(1+
2
)n]=2bn-1．當(dāng)n為奇數(shù)時，上述結(jié)果是否依然成立？如果不成立，請用bn表示[(1+
2
)n]（不必證明）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)二模）若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈Z）．
（1）求a5+b5的值；
（2）求證：數(shù)列{bn}各項(xiàng)均為奇數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)二模）若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈z），a5+b5=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）證明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當(dāng)n為偶數(shù)時，[(1+
2
)n]=2bn-1．當(dāng)n為奇數(shù)時，上述結(jié)果是否依然成立？如果不成立，請用bn表示[(1+
2
)n]（不必證明）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案