【題目】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓短半軸長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn) 在直線,(為長(zhǎng)半軸,為半焦距)上.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2)求以OM為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程;

3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)FOM的垂線與以OM為直徑的圓交于點(diǎn)N.求證:線段ON的長(zhǎng)為定值,并求出這個(gè)定值.

【答案】1;(2;(3)證明見(jiàn)解析,定值為

【解析】

1)由題可知,,再結(jié)合,可求出 ,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)出以OM為直徑的圓的方程,變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心和半徑,由以OM為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2,過(guò)圓心作弦的垂線,根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn),由弦的一半,半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程,求出方程的解即可得到的值,即可確定出所求圓的方程;

3)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),表示出,由,得到兩向量的數(shù)量積為0,利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式,又,同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式,把前面得到的關(guān)系式代入,即可求出線段ON的長(zhǎng),從而得到線段ON的長(zhǎng)為定值.

1)又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上,得

,

從而

所以橢圓方程為

2)以OM為直徑的圓的方程為

其圓心為,半徑

因?yàn)橐?/span>OM為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2

所以圓心到直線的距離

所以,

解得

所求圓的方程為

3)方法一:由平面幾何知:

直線OM,直線FN

所以線段ON的長(zhǎng)為定值.

方法二、設(shè),則

所以,為定值

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1)根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本平均數(shù)

2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù),檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)作為μ的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

[參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2),則:Pμσξμ+σ≈0.6827,Pμ2σξμ+2σ≈0.9545Pμ3σξμ+3σ≈0.9973

3)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個(gè)箱子中,質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為X,求X的分布列以及期望值.

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