Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，SD=AD=2，G是SB的中點．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求證：AB∥平面SCD；
（3）求AB與SC所成的角；
（4）求證：平面GAC⊥平面ABCD
（5）求三棱錐B-AGC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由線面垂直得AC⊥SD，從而AC⊥平面SBD，由此能證明AC⊥SB．
（2）由四棱錐S-ABCD的底面為正方形，得AB∥CD，由此能證明AB∥平面SCD．
（3）由AB∥CD，知∠SCD是AB與SC所成的角，由此能求出AB與SC所成的角．
（4）設(shè)AC∩BD=O，由已知條件得OG∥SD，從而OG⊥底面ABCD，由此能證明平面GAC⊥平面ABCD．
（5）由OG⊥底面ABCD，且OG=

1

2

SD=1，S△ABC=

1

2

AB•BC，能求出三棱錐B-AGC的體積．

解答： （1）證明：∵四棱錐S-ABCD的底面為正方形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥SD，又BD∩SD=D，
∴AC⊥平面SBD，
∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB．
（2）證明：∵四棱錐S-ABCD的底面為正方形，∴AB∥CD，
又∵AB不包含于平面SCD，CD?平面SCD，
∴AB∥平面SCD．
（3）解：∵AB∥CD，∴∠SCD是AB與SC所成的角，
∵四棱錐S-ABCD的底面為正方形，
SD⊥底面ABCD，SD=AD=2，
∴∠SCD=45°，
∴AB與SC所成的角為45°．
（4）證明：設(shè)AC∩BD=O，
∵ABCD是正方形，∴O是BD中點，
∵G是SB的中點，∴OG∥SD，
∵SD⊥底面ABCD，∴OG⊥底面ABCD，
∵OG?平面GAC，
∴平面GAC⊥平面ABCD．
（5）解：∵OG⊥底面ABCD，且OG=

1

2

SD=1，
S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2，
∴三棱錐B-AGC的體積V=

1

3

×OG×S△ABC=

1

3

×1×2=

2

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．