Question

當x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：1+x+x²+…+xⁿ+…=

1

1-x

，兩邊同時積分得：

∫

1 2 0

ldx+

∫

1 2 0

xdx+

∫

1 2 0

x²dx+…+

∫

1 2 0

xⁿdx+…=

∫

1 2 0

1

1-x

dx，從而得到如下等式：1×

1

2

+

1

2

×（

1

2

）²+

1

3

×（

1

2

）³+…+

1

n+1

×（

1

2

）ⁿ⁺¹+…=ln2，請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法，計算：C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×（

1

2

）²+

1

3

C

2 n

×（

1

2

）³+…+

1

n+1

C

n n

×（

1

2

）ⁿ⁺¹=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：操作型,推理和證明

分析：根據(jù)二項式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，兩邊同時積分整理后，整理即可得到結論．

解答： 解：二項式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
對C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
兩邊同時積分得：

∫

1 2 0

C

0 n

dx+

∫

1 2 0

C

1 n

xdx+…+

∫

1 2 0

C

n n

xⁿdx=

∫

1 2 0

（1+x）ⁿdx，
從而得到如下等式：C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×（

1

2

）²+

1

3

C

2 n

×（

1

2

）³+…+

1

n+1

C

n n

×（

1

2

）ⁿ⁺¹=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]，
故答案為：

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]．

點評：本題主要考查二項式定理的應用．是道好題，解決問題的關鍵在于對C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，兩邊同時積分，要是想不到這一點，就變成難題了．