【題目】已知函數(shù)fx=logaxa1)在[a,2a]上的最大值是最小值的2倍.

1)若函數(shù)gx=f3x2-mx+5)在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;

2)設函數(shù)Fx=f)(2x),且關于x的方程Fx=k[,4]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)(-8,-6];(2)[,8].

【解析】

1)由題可知函數(shù)fx)在(0,+∞)上單調遞增,由最大值是最小值的2倍可求得a=2,即fx=log2x,函數(shù)gx=f3x2-m+5)在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),故y=3x2-mx+5[-1,+∞)上是增函數(shù)且y=3x2-mx+50[-1,+∞)上恒成立,可得m范圍.(2)由(1)知a=2,故Fx=xlog2x,對Fx)求導后,分析單調性,求出Fx)值域后可得.

解:由題可知fx=logaxa1)在(0,+∞)上單調遞增,

所以在[a,2a]上,fa)最小,f2a)最大,

f2a=log22a=2fa=2log2a=,

2a=a2,又因為a0,故a=2,即fx=log2x.

(1)gx=f3x2-mx+5)在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),則y=3x2-mx+5[-1,+∞)上單調遞增且y=3x2-mx+50[-1,+∞)上恒成立,

,∴,所以m的取值范圍是(-8,-6]

2)由(1)知,a=2,所以Fx=×2x==xlog2x,

F′(x===log2x+log2e=log2ex,

F′(x=0,得,x=,

x時,F′(x)<0,∴Fx)在()上單調遞減,

x時,F′(x)>0,∴Fx)在上單調遞增,

Fx)在x=時取得極小值,又因為Fx)在[]上唯一的極值,故F)是Fx)在[]上的最小值,且F=,

又因為F4=4log24=8F==-,

Fx)在[]上的最大值為8,綜上,Fx)∈[,8],

方程Fx=k[,4]上有解,

k [,8]

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