Question

已知A、B、C三點(diǎn)在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO-ABC為正三棱錐，若A、B兩點(diǎn)的球面距離為π，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值為

1

3

．

Answer 1

分析：欲求正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值，先求出A、B兩點(diǎn)的球心角∠AOB，再利用題設(shè)條件求出幾何體O-ABC為正四面體，利用余弦定理即得．

解答：解：作出圖形，
∵A、B兩點(diǎn)的球面距離為π，
∴球心角∠AOB=

π

3

，
∵OA=OB=3，∴AB=3．
∵幾何體O-ABC為正三棱錐，∴幾何體O-ABC為正四面體，
設(shè)正四面體O-ABC的棱長(zhǎng)為2，取AC中點(diǎn)D，連接OD，BD，
∵OA=OC=AC=AB=BC=2，
∴OD⊥AC，BD⊥AC，OD=BD=

3

，
∴∠ODB是正三棱錐的側(cè)面與底面所成角，
∴cos∠ODB=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．解題時(shí)要注意余弦定理的靈活運(yùn)用．