Question

f（x）是定義在（0，+∞），對(duì)于任意x＞1都有f（x）＞0，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求證f（x）在定義域（0，+∞）為增函數(shù)．
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（Ⅱ）先求出f（36）=2，由f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且在其上為增函數(shù)，知x（x+3）＜36，即可解得答案．

解答： 解（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0
∵f(

x

y

)=f(x)-f(y)，∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
即有f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在定義域（0，+∞）為增函數(shù)．
（Ⅱ）∵f（6）=1，而f(6)=f(

36

6

)=f(36)-f(6)，
∴f（36）=2f（6）=2
∴f(x+3)-f(

1

x

)＜2，
∵f（x）在定義域（0，+∞）為增函數(shù)．
∴

f(x(x+3))＜f(36) x＞0

?

x2+3x-36＜0 x＞0

從而得不等式的解集為：{x|0＜x＜

-3+3 17

2

}

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．