Question

如圖，在直角梯形ABEF中，，，講DCEF沿CD折起，使得，得到一個幾何體，

（1）求證：平面ADF；
（2）求證：AF平面ABCD；
（3）求三棱錐E-BCD的體積.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

試題分析：
（1）要證明平面ADF，可以通過BCE面與ADF面平行來得到線面平行，在折疊過程中，會保持BC//AD,CE//DF，故兩平面內兩條相交的直線相互平行，故可以證明BCE面與ADF面平行來得到線面平行
（2）要證明AF垂直于ABCD面，只需要證明AF與ABCD面內兩條相交的直線AD與DC垂直即可，利用三角形ADF的正弦定理，可以求出AF長度，加以勾股定理就可以證明AF與AD垂直，DC垂直于DF和AD，所以DC垂直于面AFD，進而也是垂直于AF的.
（3）求三棱錐E-BCD的體積，由（1）（2）可以知道面BCE與面ADF平行且DC垂直于面ADF,進而有DC垂直于面BCE，所以求三棱錐的體積可以以三角形BCE底面，DC為高，則高長度已知，底面三角形面積可以利用EC,BC及其兩邊夾角的正弦值來求的.
試題解析：
（1）由已知條件可知，折疊之后平行關系不變,又因為平面，
平面，所以//平面；
同理//平面.    2分
又平面，
平面//平面.
又平面,
∴//平面.    4分
（2）由于
，即
.    6分
平面,

平面.    8分
（3）法一：平面，
.                10分
又,.
       12分
    14分
法二：取中點，連接.
由（2）易知⊥平面,又平面//平面,
⊥平面.                10分
又,.
，,  12分
.
.              14分