Question

已知函數(shù)f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值與最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=cos（x+）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+，k∈Z．
因為當(dāng)x∈（2kπ-，2kπ+）（k∈Z）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）時，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ-，2kπ+）（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間是（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增，在（，π]上單調(diào)遞減．
f（-π）=0，f（）=0，f（π）=0，f（-）=
所以f（x）在[-π，π]上的最大值為，最小值為．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+（k∈Z）時，取得最大值；當(dāng)x=2kπ-（k∈Z）時，取得最小值．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負，可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，π]上的單調(diào)性，從而可得f（x）在[-π，π]上的最大值與最小值，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．