Question

（2013•長(zhǎng)春一模）等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a1=

2

3

，且S2+

1

2

a2=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=log3

a 2 n

4

，求數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)a1=

2

3

，S2+

1

2

a2=1建立關(guān)于q的等式，從而可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的通項(xiàng)的特點(diǎn)利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行求和即可．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意a1=

2

3

，S2+

1

2

a2=1，
所以

2

3

+

2

3

q+

1

2

•

2

3

q=1，即q=

1

3

，
因此an=a1•qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．（6分）
（2）bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，
所以

1

bn•bn+2

=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

•

1

n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

8

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

8

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中還包括對(duì)數(shù)的運(yùn)算與裂項(xiàng)求和的應(yīng)用技巧，屬于基礎(chǔ)題．