Question

已知圓x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圓心為C，直線l：y=x+m．
（1）若m=4，求直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)的最大值；
（2）若直線l是圓心下方的切線，當(dāng)a在（0，4]變化時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心C的坐標(biāo)和半徑，再求得圓心C到直線l的距離，由圓弦長(zhǎng)、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系得：L=2

(2 a )2-( 2 |2-a|)2

=2

-2a2+12a-8

=2

-2(a-3)2+10

最后由二次函數(shù)法求解．
（2）由直線l與圓C相切，建立m與a的關(guān)系，|m-2a|=2

2a

，再由點(diǎn)C在直線l的上方，去掉絕對(duì)值，將m轉(zhuǎn)化為關(guān)于a二次函數(shù)求解．

解答：解：（1）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（0＜a≤4），
則圓心C的坐標(biāo)是（-a，a），半徑為2

a

．
直線l的方程化為：x-y+4=0．則圓心C到直線l的距離是=

|4-2a|

2

=

2

|2-a|．
設(shè)直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，由圓弦長(zhǎng)、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系是：
L=2

(2 a )2-( 2 |2-a|)2

=2

-2a2+12a-8

=2

-2(a-3)2+10

∵0＜a≤4，∴當(dāng)a=3時(shí)，L的最大值為2

10

．

（2）因?yàn)橹本�l與圓C相切，則有

|m-2a|

2

=2

a

，
即|m-2a|=2

2a

．
又點(diǎn)C在直線l的上方，∴a＞-a+m，即2a＞m．
∴2a-m=2

2a

，∴m=(

2a

-1)2-1．
∵0＜a≤4，∴0＜

2a

≤2

2

．
∴m∈[-1，8-4

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，主要涉及了直線與圓相切構(gòu)建了函數(shù)模型，求參數(shù)的范圍，以及直線與圓相交，由圓心距，半徑和圓的弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形．