Question

甲、乙兩人破譯一種密碼，它們能破譯的概率分別為

1

3

和

1

4

，求：
（1）恰有一人能破譯的概率；
（2）至多有一人破譯的概率；
（3）若要破譯出的概率為不小于

65

81

，至少需要多少甲這樣的人？

Answer 1

分析：（1）恰有一人能破譯包括兩種情況，“甲能譯出，乙不能譯出”，“甲不能譯出，乙能譯出”，分別求出概率，再相加．
（2）至多有一人破譯，包括三種情況，“甲乙都不能譯出”，“甲能譯出，乙不能譯出”，“甲不能譯出，乙能譯出”，分別求出概率，再相加．
（3）先設(shè)至少需要n個甲這樣的人，再求出n個甲這樣的人譯出的概率，讓這個概率大于等于

65

81

，求出n的范圍，找最小的整數(shù)n即可．

解答：解：（1）設(shè)A為“甲能譯出”，B為“”，則A、B互相獨立，從而A與

.

B

、

.

A

與B

.

A

與

.

B

均相互獨立．
“恰有一人能譯出”為事件A•

.

B

+

.

A

•B，又A•

.

B

與

.

A

•B互斥，
則P(A•

.

B

+

.

A

•B)=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)=P(A)•P(

.

B

)+P(

.

A

)•P(B)=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

=

5

12

．
（2）“至多一人能譯出”的事件A•

.

B

+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

，且A•

.

B

、

.

A

•B、

.

A

•

.

B

互斥，
∴P(A•

.

B

+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

)=P(A)•P(

.

B

)+P(

.

A

)•P(B)+P(

.

A

)•P(

.

B

)=

11

12

．
（3）設(shè)至少需要n個甲這樣的人，而n個甲這樣的人譯不出的概率為(1-

1

3

)n，
∴n個甲這樣的人能譯出的概率為P=1-(1-

1

3

)n，
由1-(1-

1

3

)n≥

65

81

得(

2

3

)n≤

16

81

=(

2

3

)4， ∴n≥4
∴至少需4個甲這樣的人才能滿足題意．

點評：本題考查了相互獨立事件概率的求法，做題時要認(rèn)真分析．