Question

給出以下命題：
（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函數(shù)f(x)=

sinx

x

在區(qū)間(0，

π

2

)上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要條件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分條件．
其中是真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）令x=

π

4

，舉出正例可證明一個(gè)存在性命題為真
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上的符號(hào)，進(jìn)而分析出其單調(diào)性
（3）分別判斷“x＞1”⇒“|x|＞1”和“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義可以判斷
（4）根據(jù)正弦定理及三角形大邊對(duì)大角，可判斷△ABC中，“A＞B”與“sinA＞sinB”的充要關(guān)系

解答：解：當(dāng)x=

π

4

時(shí)，sinx+cosx=

2

＞1，故（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1正確；
∵f(x)=

sinx

x

，∴f′(x)=

x•cosx-sinx

x2

=

x-tanx

cosx•x2

，
當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x²＞0，
∴f'（x）＜0，故f（x）在區(qū)間(0，

π

2

)上單調(diào)遞減，故（2）正確．
當(dāng)“x＞1”時(shí)是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”時(shí)，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要條件；
在△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R為三角形外接圓半徑）?“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，故（4）錯(cuò)誤
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是特稱(chēng)命題，命題的真假判斷，函數(shù)的單調(diào)性，充要條件，其中熟練掌握上述基本知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．