Question

函數(shù)f（x）=x²⁰⁰⁹|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是（ ）
A．a(chǎn)b=0
B．a(chǎn)+b=0
C．
D．a(chǎn)²+b²=0

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義可得若f（x）為奇函數(shù)，則等式-x²⁰⁰⁹|-x-a|+b+x²⁰⁰⁹|x-a|+b=0對(duì)于任意的x∈R都成立，分析可得，必有a=b=0，進(jìn)而分析可得a=b=0?a²+b²=0，驗(yàn)證充分性，即可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，若f（x）為奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即等式-x²⁰⁰⁹|-x-a|+b+x²⁰⁰⁹|x-a|+b=0對(duì)于任意的x∈R都成立，
分析可得，必有a=b=0，
分析可得a=b=0?a²+b²=0，
反之若a²+b²=0，則a=b=0，
則f（x）=x²⁰⁰⁹|x|，f（-x）=-x²⁰⁰⁹|x|，
則對(duì)任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
故f（x）為奇函數(shù)；
即函數(shù)f（x）=x²⁰⁰⁹|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)與充要條件的判斷，關(guān)鍵在于由等式恒成立分析出a=b=0．