Question

設(shè)a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，試判斷

x-1

lnx

與lnx-2a的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)法則有f′（x）=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（x＞0），得F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a，x＞0，于是F′x）=

x-2

x

，x＞0，從而在x=2處取得極小值F（2）=2-ln2+2a，函數(shù)無極大值．
（Ⅱ）由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．從而當(dāng)x＞0時，恒有f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．故當(dāng)x＞1時，恒有x-1＞ln²x-2alnx．又lnx＞0．所以

x-1

lnx

＞lnx-2a．

解答： （Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有f′（x）=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（x＞0），
故F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′x）=

x-2

x

，x＞0，
列表如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↓	極小值F（2）	↑

故知F（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2-ln2+2a，函數(shù)無極大值．
（Ⅱ）由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是由上表知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf′（x）＞0．
從而當(dāng)x＞0時，恒有f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加．
所以當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故當(dāng)x＞1時，恒有x-1＞ln²x-2alnx．又lnx＞0．
所以

x-1

lnx

＞lnx-2a．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．