Question

設a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內的單調性并求極值；
（Ⅱ）當x＞1時，試判斷

x-1

lnx

與lnx-2a的大�。�

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據求導法則有f′（x）=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（x＞0），得F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a，x＞0，于是F′x）=

x-2

x

，x＞0，從而在x=2處取得極小值F（2）=2-ln2+2a，函數無極大值．
（Ⅱ）由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．從而當x＞0時，恒有f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內單調增加．所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．故當x＞1時，恒有x-1＞ln²x-2alnx．又lnx＞0．所以

x-1

lnx

＞lnx-2a．

解答： （Ⅰ）解：根據求導法則有f′（x）=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（x＞0），
故F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′x）=

x-2

x

，x＞0，
列表如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↓	極小值F（2）	↑

故知F（x）在（0，2）內是減函數，在（2，+∞）內是增函數，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2-ln2+2a，函數無極大值．
（Ⅱ）由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是由上表知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf′（x）＞0．
從而當x＞0時，恒有f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內單調增加．
所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故當x＞1時，恒有x-1＞ln²x-2alnx．又lnx＞0．
所以

x-1

lnx

＞lnx-2a．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，是一道綜合題．