Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-m-lnx，其中m∈R．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點，求m的值并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當m≤-1時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函數(shù)f（x）的極值點，可得f'（1）=0，進而可得m=0，進而分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可由導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當m≤-1，x∈（0，+∞）時，由e^x≥x+1恒成立和x+1＞lnx恒成立，可得當m≤-1，e^x-1-m＞lnx，進而得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-1-m-lnx，
∴f′（x）=e^x-1-m-

1

x

∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點，
∴f'（1）=0，解得m=0
當m=0時，f（x）=e^x-1-lnx，
f′(x)=ex-1-

1

x

為（0，+∞）上的增函數(shù)，
又由于f′（1）=0，
所以當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，此時f（x）遞減；
x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，此時f（x）遞增；
（Ⅱ）當m≤-1時，
當x∈（0，+∞）時，
令g（x）=e^x-（x+1），則g′（x）=e^x-1＞0
故g（x）=e^x-（x+1）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴g（x）＞g（0）=0
故e^x＞x+1恒成立；
令h（x）=x+1-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，
∵x∈（0，1），h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0
故h（x）≥h（1）=2
即x+1＞lnx恒成立，
所以當m≤-1，e^x-1-m≥e^x＞x+1＞lnx
所以，f（x）＞0成立．

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)在某點取得極值的條件，熟練掌握導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)定義域，及函數(shù)最值時的功能是解答的關(guān)鍵．