Question

8．已知：函數(shù)f（x）=$\frac{sin2x}{e^x}$的圖象在（0，f（0））處的切線恰好是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一條漸近線，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率和方程，得雙曲線的漸近線，建立a，b，c的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2cos2x{e}^{x}-sin2x{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{2cos2x-sin2x}{{e}^{x}}$，
則函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線斜率k=f′（0）=$\frac{2cos0-sin0}{{e}^{0}}$=2，
f（0）=0，即切點為（0，0），
則對應(yīng)的切線方程為y=2x，
∵在（0，f（0））處的切線恰好是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一條漸近線，
∴$\frac{a}$=2，即b=2a，則b²=4a²=c²-a²，
即c²=5a²，c=$\sqrt{5}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)導(dǎo)數(shù) 的幾何意義求出切線方程即雙曲線的漸近線方程是解決本題的關(guān)鍵．