Question

10．如圖，四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$的等腰三角形，E、F分別為AB、VC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面VAD；
（2）求二面角V-AB-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）取VD中點(diǎn)M，連結(jié)AM、MF，推導(dǎo)出四邊形AEFM是平行四邊形，從而EF∥AM，由此能證明EF∥平面VAD．
（2）取CD中點(diǎn)N，則EN⊥AB，連結(jié)VE，VN，則VE⊥AB，∠VEN是二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的大�。�

解答 證明：（1）取VD中點(diǎn)M，連結(jié)AM、MF，
∵M(jìn)、F分別是VD、VC中點(diǎn)，
∴MF∥AB，且$MF=\frac{1}{2}AB=AE$，（2分）
∴四邊形AEFM是平行四邊形，∴EF∥AM（4分）
又AM?平面VAD，EF?平面VAD，
∴EF∥平面VAD．（6分）
解：（2）取CD中點(diǎn)N，則EN⊥AB，
連結(jié)VE，VN，∵VA=VB，E是AB中點(diǎn)，
∴VE⊥AB，（8分）
∴∠VEN是二面角V-AB-C的平面角，（10分）
∴VE=VN=2，EN=AD=2，
∴∠VEN=60°
即二面角V-AB-C的大小為60°．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．