Question

一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形冰淇淋，其三視圖如圖所示，

（1）求杯子的側(cè)面積；
（2）求冰淇淋的體積；
（3）如果冰淇淋全部融化了，會溢出杯子嗎？寫出推導(dǎo)過程．

Answer 1

分析：（1）該幾何體的表面的上部分是一個半徑為4cm的半球，下部分是底面半徑為4cm，高為12cm的圓錐．利用勾股定理計(jì)算出圓錐的母線長，可得圓錐的側(cè)面積
（2）由（1）中半球的半徑，代入球的體積公式，可求出冰淇淋的體積；
（3）計(jì)算出下部分圓錐的體積，結(jié)合（2）中冰淇淋的體積，比較半球的體積與圓錐的體積，從而得到冰淇淋融化了會不會溢出杯子．

解答：解：（1）根據(jù)題意，該幾何體的表面的上部分是一個半徑為4cm的半球，下部分是底面半徑為4cm，高為12cm的圓錐
由勾股定理，得圓錐的母線長為l=

122+42

=4

10

cm
∴S_{圓錐側(cè)}=πrl=4•4

10

π=16

10

πcm²
（2）∵上部分是一個半徑為4cm的半球，
V_半球=

2

3

×π×4³=

128

3

π，
即冰淇淋的體積為

128

3

πcm³
（3）∵下部分是底面半徑為4cm，高為12cm的圓錐
∴V_圓錐=

1

3

×π×4²×12=64π
∴V_半球＜V_圓錐，可得冰淇淋不會溢出杯子

點(diǎn)評：本題給出一個組合式的幾何體，求它的表面積和體積，著重考查了球和圓錐的表面積公式和體積公式，屬于基礎(chǔ)題．