Question

若函數(shù)f（x）在給定區(qū)間M上存在正數(shù)t，使得對于任意的x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上t級類增函數(shù)，則下列命題中正確的是（　�。�

• A、函數(shù)f（x）=

  4

  x

  +x是（1，+∞）上的1級類增函數(shù)
• B、函數(shù)f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數(shù)
• C、若函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

  π

  2

  ，+∞）上的

  π

  3

  級類增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最小值為

  3

  π

• D、若函數(shù)f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在A中，f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立；
在B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立；
在C中，函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞）上的

π

3

級類增函數(shù)，故

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，運(yùn)用參數(shù)分離，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
在D中，由f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，能導(dǎo)出實(shí)數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．

解答： 解：∵f（x）=

4

x

+x，
∴f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x
=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立，故A不正確；
∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立，故B不正確；
∵函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞）上的

π

3

級類增函數(shù)，
∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，
∴sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，
∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，

π

3

a≥

1

2

sinx-

3

2

cosx=sin（x-

π

3

），
而sin（x-

π

3

）≤1，即a≥

3

π

，
∴實(shí)數(shù)a的最小值為

3

π

，故C正確；
∵f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，
t≥3-2x，由于x∈[1，+∞），則3-2x≤1，故t≥1，故D錯(cuò)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，考查新定義，同時(shí)考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．