（1）求離心率e=
6
3
，且過點(diǎn)（3，0），焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）雙曲線C與4x2+y2=1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是y=
2
x，求雙曲線C的方程．
分析：（1）先設(shè)出橢圓方程，根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到結(jié)論；
（2）將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±
3
2
），因此設(shè)雙曲線方程為
y2
m
-
x2
3
4
-m
=1（0＜m＜
3
4
），根據(jù)漸近線方程建立關(guān)于m的等式，算出m的值即可得到該雙曲線的方程．
解答：解：（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
∴可設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）
由于橢圓過點(diǎn)（3，0），故
32
b2
=1，解得b=3
又離心率e=
6
3
=
c
a
，則
c2
a2
=
6
9
=
2
3
，
故
b2
a2
=
1
3
，所以a=3
3

∴a=3
3
，b=3，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
27
+
x2
9
=1．
（2）將橢圓4x2+y2=1化成標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
1
4
+y2=1，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±
3
2
），
因此設(shè)雙曲線方程為
y2
m
-
x2
3
4
-m
=1（0＜m＜
3
4
），
由雙曲線的一條漸近線方程是y=
2
x，可得
m
3
4
-m
=
2
，
解得m=
1
2
，故雙曲線的方程為
y2
1
2
-
x2
1
4
=1，整理得2y2-4x2=1．
點(diǎn)評：本題給出雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上兩點(diǎn)P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的連線的斜率為
2
2
．
（1）求橢圓的離心率e的大��；
（2）若以PQ為直徑的圓與直線x+y+6=0相切，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）設(shè)點(diǎn)M（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最遠(yuǎn)距離不大于5
2
，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)A（4，6），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在X軸上，離心率e=2．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂三模）已知直線l：y=x+
6
，圓O：x2+y2=5，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
3
，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若
AF
=2
FB
求直線l的方程；
（2）若動點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
，問動點(diǎn)P的軌跡能否與橢圓C存在公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)；又函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸的方程是x=
π
6
．（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；（2）對于任意一點(diǎn)M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)；又函數(shù)f（x）=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸方程是x=
π
6
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e與直線ON的斜率；
（Ⅱ）對于任意一點(diǎn)M∈C，總有等式
OM
=λ
OA
+μ
OB
成立，求證：λ2+μ2為定值．

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同步練習(xí)冊答案