Question

過正三棱臺的任意兩個頂點的直線有15條，其中異面直線有____對．

1. A.
   12
2. B.
   24
3. C.
   36
4. D.
   48

Answer 1

C
分析：直接解答，先看與下底面上的一條邊對應(yīng)的異面直線的條數(shù)，類推到上底面的邊；再求側(cè)面上的異面直線的對數(shù)即可．
解答：正三棱臺上底面和下底面各有三條邊
各個側(cè)面均為四邊形，各有六條線段，
這樣每條棱被算了兩次，共9條棱
∴共有3×2+3×6-9=15條直線
分三類：
①三棱臺的上底面三角形中任意取一條邊a，
這樣在與a異面的直線一共5條，這樣算3條底邊
一共有3×5=15對異面直線；
②三棱臺的下底面三角形中任意取一條邊b，
這樣在與b異面的直線一共5條，這樣算3條底邊
一共有3×5=15對異面直線；
③分別位于兩個側(cè)面且不在底面的異面直線：
共（3×4）÷2=6對
綜上所述，所有的中異面直線有15+15+6=36對．
故選C．
點評：本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，異面直線的判斷，排列組合的實際應(yīng)用，是難題．