Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若20sinA•$\overrightarrow{BC}$+15sinB•$\overrightarrow{CA}$+12sinC•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABC的形狀是直角三角形．

Answer 1

分析 由條件利用正弦定理可得20a•$\overrightarrow{BC}$+15b•$\overrightarrow{CA}$+12c•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，化簡(jiǎn)可得可得15b-20a=0，且12c-20a=0，求得c²-b²=a²，故△ABC為直角三角形．

解答 解：△ABC中，由20sinA•$\overrightarrow{BC}$+15sinB•$\overrightarrow{CA}$+12sinC•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
利用正弦定理得20a•$\overrightarrow{BC}$+15b•$\overrightarrow{CA}$+12c•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}）$，
故（15b-20a）$\overrightarrow{CA}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$．
由$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}$為不共線(xiàn)向量，可得15b-20a=0，且12c-20a=0，
所以b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，從而c²-b²=a²，故△ABC為直角三角形．
故答案為：直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．