Question

19．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方向構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個圖形包含f（n）個小正方形

（1）求f（6）的值
（2）求出f（n）的表達式
（3）求證：1≤$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；
（2）總結(jié)一般性的規(guī)律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用疊加法，可求f（n）的表達式；
（3）根據(jù)通項特點，利用裂項法求和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得證．

解答 解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61；
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1；
（3）證明：當n≥2時，$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-2n+1-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．
n=1時，上式也成立．
由于g（n）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$為遞增數(shù)列，
即有g(shù)（n）≥g（1）=1，
且g（n）＜$\frac{3}{2}$，
則1≤$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{3}{2}$成立．

點評 本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結(jié)其內(nèi)在聯(lián)系，得到一般性的結(jié)論，同時考查了裂項法求數(shù)列的和，屬于中檔題．