已知M是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),MA、MB是圓P:(x-1)2+(y-1)2=4的兩條切線,A、B為切點(diǎn),P為圓心,求數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式的最大值________.

-
分析:由題意可得 =4cos∠EPF,當(dāng)∠EMF最大時(shí),的值最大.由于當(dāng)PM和直線3x+4y+8=0垂直時(shí),∠EMF最大,此時(shí),求得PM的值,即可求得cos∠PMF,利用二倍角
公式求得cos∠EPF 的值,從而求得的值最大.
解答:解:由題意可得 =2×2×cos∠EPF=4cos∠EPF,圓心P(1,1),故要使的值最大,只有∠EPF 最。
再由四邊形MEPF中∠MEP=∠MFP=可得四邊形MEPF是圓內(nèi)接四邊形,故∠EPF+∠EMF=π,故當(dāng)∠EMF最大時(shí),的值最大.
由于當(dāng)PM和直線3x+4y+8=0垂直時(shí),∠EMF最大,此時(shí),切線ME=MF,∠EPF=2∠MPF,PM等于圓心P到直線的距離 =3.
cos∠PMF==,cos∠EPF=cos(2∠MPF)=2cos2∠MPF-1=-1=-,
的值最大為 4cos∠EPF=4×(-)=-,
故答案為-
點(diǎn)評:本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,圓的切線性質(zhì),二倍角公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知M是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),MA、MB是圓P:(x-1)2+(y-1)2=4的兩條切線,A、B為切點(diǎn),P為圓心,求
PE
PF
的最大值
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4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C過兩點(diǎn)A(1,-1),B(2,-2),且圓心C在直線2x-y-4=0上.
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已知M是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),MA、MB是圓P:(x-1)2+(y-1)2=4的兩條切線,A、B為切點(diǎn),P為圓心,求的最大值   

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已知M是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),MA、MB是圓P:(x-1)2+(y-1)2=4的兩條切線,A、B為切點(diǎn),P為圓心,求的最大值   

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